张禾瑞近世代数基础学习笔记及习题参考解答

张祖锦

目录

  • 1 基本概念
    • 1.1 集合
    • 1.2 映射
    • 1.3 代数运算
    • 1.4 结合律
    • 1.5 交换律
    • 1.6 分配律
    • 1.7 一一映射、变换
    • 1.8 同态
    • 1.9 同构、自同构
    • 1.10 等价关系与集合的分类
  • 2 群论
    • 2.1 群的定义
    • 2.2 单位元、逆元、消去律
    • 2.3 有限群的另一定义
    • 2.4 群的同态
    • 2.5 变换群
    • 2.6 置换群
    • 2.7 循环群
    • 2.8 子群
    • 2.9 子群的陪集
    • 2.10 不变子群、商群
    • 2.11 同态与不变子群
  • 3 环与域
    • 3.1 加群、环的定义
    • 3.2 交换律、单位元、零因子、整环
    • 3.3 除环、域
    • 3.4 无零因子环的特征
    • 3.5 子环、环的同态
    • 3.6 多项式环
    • 3.7 理想
    • 3.8 剩余类环、同态与理想
    • 3.9 最大理想
    • 3.10 商域
  • 4 整环里的因子分解
    • 4.1 素元、唯一分解
    • 4.2 唯一分解环
    • 4.3 主理想环
    • 4.4 欧氏环
    • 4.5 多项式环的因子分解
    • 4.6 因子分解与多项式的根
  • 5 扩域
    • 5.1 扩域、素域
    • 5.2 单扩域
    • 5.3 代数扩域
    • 5.4 多项式的分裂域
    • 5.5 有限域
    • 5.6 可离扩域
  • 6 记号 及原书勘误
    • 6.1 内容
  • 7 考研试题参考解答
    • 7.1 北京师范大学1986年近世代数考研试题第1题
同构、自同构

内容精讲

1、 同构映射. 设同态映射  

是一一映射, 则称    是同构映射,    与    同构, 记作  

若再   , 则称  

是自同构.

2、 例 1. 对   , 代数运算    由下表给出  

则  

知    到    的同构映射. 事实上,  

3、 例 2. 对   , 代数运算    由下表给出  

则  

知    的自同构. 事实上,    是一一映射, 且  

4、 如果  

是同构映射, 则

(1)、  

也是同构映射.

(2)、    满足结合律, 则    也满足结合律.

(3)、    满足交换律, 则    也满足交换律.

(4)、   .

故而    具有某种代数运算相关的性质, 则    也具有某种代数运算相关的性质. 以后我们就将同构的代数系统等同起来, 看成一样了. 毕竟一个代数系统搞清楚了, 和它同构的代数系统也具有完全相同的性质.

习题参考解答

1、   . 代数运算由下表给定  

找出所有    的一一变换. 对于代数运算    来说, 这些一一变换是否都是    的自同构?

资料/微信群/购买书籍/在线阅读    的一一变换有    个, 为  

由  

知    是    的自同构当且仅当  

故只有    是    的自同构. 跟锦数学微信公众号, 张祖锦数学微信小程序宣.

2、   . 找一个    的对于普通加法来说的自同构 (映射    除外).

资料/微信群/购买书籍/在线阅读  取   ,   , 则    是一一映射. 又由  

知    是自同构. 跟锦数学微信公众号, 张祖锦数学微信小程序宣.

3、   ;    的代数运算是普通加法.   ;    的代数运算是普通乘法. 证明, 对于给的代数运算来说,    与    间没有同构映射存在 (先决定    在一个同构映射之下的象).

资料/微信群/购买书籍/在线阅读  用反证法. 若存在同构映射   , 则    是一一映射, 且  

再者, 由    是一一映射知  

于是  

进而  

但这与    矛盾. 故有结论. 跟锦数学微信公众号, 张祖锦数学微信小程序宣.