内容精讲
1、 关系.
(1)、 设 , 则称 为 的元间的一个关系.
(2)、 若 对, 则称 与 符合关系 , 记作
(3)、 若 错, 则称 与 不符合关系 .
(4)、 按映射的定义知给定了 的元间的一个关系后, , 我们可以确定 与 是否符合这个关系.
2、 关系的例子. 对 ,
这个关系就是通常的小于关系:
3、 等价关系.
(1)、 集合 的元间的一个关系 称为等价关系, 如果
(1-1)、 反射律 (自反): ,
(1-2)、 对称律: ,
(1-3)、 推移律 (传递): .
若 , 则称 与 是等价的.
4、 等价关系的例子. ‘等于‘ 就是一个等价关系.
5、 集合的分类.
(1)、 若把一个集合 分成若干个叫做类的子集, 使得 的每一个元数属于而且只属于一个类, 则称这些类的全体叫做集合 的一个分类.
(2)、 定理 (集合的分类与等价关系) 集合 的一个分类决定 的元间的一个等价关系; 反过来, 集合 的元间的一个等价关系 决定 的一个分类.
(2-1)、 集合 的一个分类决定 的元间的一个等价关系. 我们定义
则易知 是 的一个等价关系.
(2-2)、 集合 的元间的一个等价关系 决定 的一个分类. 设
则 就是 的一个分类. 事实上, , 由反射律知 , 在某一个类中. 若 , 则 , 而
这就证明了 . 而 只属于一个类.
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(3)、 代表, 全体代表团. 假定我们有一个集合的一个分类, 那么, 一个类里的任何一个元叫做这个类的一个代表. 刚好由每一个类的一个代表作成的集合叫做一个全体代表团.
(4)、 例 3. 设
取定正整数 , 规定 的元间的一个关系 如下:
这就是模 的同余关系, 常记作
读成: 同余 模 . 这个等价关系决定了 的一个分类, 这样得到的类叫做模 的剩余类:
我们通常选取
来作这 个类的全体代表团.
习题参考解答
1、 . 的元间的关系 以及 是不是等价关系?
资料/微信群/购买书籍/在线阅读 由 不成立知 不满足反射律, 而不是等价关系. 由 成立, 不成立知 不满足对称性, 而不是等价关系. 跟锦数学微信公众号, 张祖锦数学微信小程序宣.
2、 有人说: 加入一个关系 适合对称律和推移律, 那么它也适合反射律. 他的推论方法是: 因为 适合对称律,
因为 适合推移律,
这个推论方法有什么错误?
资料/微信群/购买书籍/在线阅读 错误之处在于: 满足 的 不一定存在, 前提条件 未必成立. 比如对
则 是 中的一个满足对称律和推移律的关系. 但没有元素与 符合关系 , 而 不是等价关系. 跟锦数学微信公众号, 张祖锦数学微信小程序宣.
3、 仿照例 3 规定整数间的关系
证明你所规定的是一个等价关系, 并且找出模 的剩余类.
于是
(1)、 ,
(2)、 ,
(3)、 ,
故 是 的一个等价关系. 再者, 任何一个整数一定与 同余; 这 个数都不同余, 而模 的剩余类为
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