由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理
1
：若
B
x
g
A
x
f
)
(
lim
,
)
(
lim
，则
)]
(
)
(
lim[
x
g
x
f
存在，且
)
(
lim
)
(
lim
)]
(
)
(
lim[
x
g
x
f
B
A
x
g
x
f
。
证
明
：
只
证
B
A
x
g
x
f
)]
(
)
(
lim[
，
过
程
为
0
x
x
，
对
0
,
0
1
，
当
1
0
0
x
x
时，
有
2
)
(
A
x
f
，
对此
，
0
2
，
当
2
0
0
x
x
时，有
2
)
(
B
x
g
，取
}
,
min{
2
1
，当
0
0
x
x
时，有
2
2
)
(
)
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
(
))
(
)
(
(
B
x
g
A
x
f
B
x
g
A
x
f
B
A
x
g
x
f
所以
B
A
x
g
x
f
x
x
))
(
)
(
(
lim
0
。
其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理
2
：若
B
x
g
A
x
f
)
(
lim
,
)
(
lim
，则
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
存在，且
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
AB
x
g
x
f
。
证明：因为
B
x
g
A
x
f
)
(
lim
,
)
(
lim
，
,
)
(
,
)
(
B
x
g
A
x
f
（
,
均为无穷小）
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
B
A
AB
B
A
x
g
x
f
，记
B
A
，
为无穷小，
AB
x
g
x
f
)
(
)
(
lim
。
推论
1
：
)
(
lim
)]
(
lim[
x
f
c
x
cf
（
c
为常数）
。
推论
2
：
n
n
x
f
x
f
)]
(
[lim
)]
(
lim[
（
n
为正整数）
。
定理
3
：设
0
)
(
lim
,
)
(
lim
B
x
g
A
x
f
，则
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
B
A
x
g
x
f
。
证明：设
B
x
g
A
x
f
)
(
,
)
(
（
,
为无穷小）
，考虑差：
由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的，因此需寻求一些方法来求极限。
定理
1
：若
B
x
g
A
x
f
)
(
lim
,
)
(
lim
，则
)]
(
)
(
lim[
x
g
x
f
存在，且
)
(
lim
)
(
lim
)]
(
)
(
lim[
x
g
x
f
B
A
x
g
x
f
。
证
明
：
只
证
B
A
x
g
x
f
)]
(
)
(
lim[
，
过
程
为
0
x
x
，
对
0
,
0
1
，
当
1
0
0
x
x
时，
有
2
)
(
A
x
f
，
对此
，
0
2
，
当
2
0
0
x
x
时，有
2
)
(
B
x
g
，取
}
,
min{
2
1
，当
0
0
x
x
时，有
2
2
)
(
)
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
(
))
(
)
(
(
B
x
g
A
x
f
B
x
g
A
x
f
B
A
x
g
x
f
所以
B
A
x
g
x
f
x
x
))
(
)
(
(
lim
0
。
其它情况类似可证。
注：本定理可推广到有限个函数的情形。
定理
2
：若
B
x
g
A
x
f
)
(
lim
,
)
(
lim
，则
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
存在，且
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
AB
x
g
x
f
。
证明：因为
B
x
g
A
x
f
)
(
lim
,
)
(
lim
，
,
)
(
,
)
(
B
x
g
A
x
f
（
,
均为无穷小）
)
(
)
)(
(
)
(
)
(
B
A
AB
B
A
x
g
x
f
，记
B
A
，
为无穷小，
AB
x
g
x
f
)
(
)
(
lim
。
推论
1
：
)
(
lim
)]
(
lim[
x
f
c
x
cf
（
c
为常数）
。
推论
2
：
n
n
x
f
x
f
)]
(
[lim
)]
(
lim[
（
n
为正整数）
。
定理
3
：设
0
)
(
lim
,
)
(
lim
B
x
g
A
x
f
，则
)
(
lim
)
(
lim
)
(
)
(
lim
x
g
x
f
B
A
x
g
x
f
。
证明：设
B
x
g
A
x
f
)
(
,
)
(
（
,
为无穷小）
，考虑差：
极限理论在高等数学中占有重要的地位,它是建立许多数学概念(如函数的连续性、导数、定积分等)的必不可少的工具.因此,极限运算是高等数学课程中基本运算之一.每一个极限运算都有它适合的方法.一部分极限运算要使用极限的四则运算法则.使用极限的四则运算法则时,应注意它们的条件，当每个函数的极限都存在时,才可使用和、差、积的极限法则;当分子、分母的极限都存在,且分母的极限不为零时，才可使用商的极限法则.为了简化极限的运算,我们往往需要时函数作代数或三角的恒等变形.
