点的投影    SECTION ONE   PROJECTION OF POINTS

3.1.1点的三面投影几投影规律

      1.点的三面投影

      过空间点A的投射线与投影面P的交点a称为点A在投影面P上的投影。仅有点的一个投影不能确定点的空间位置。点的投影a可以是过a的投射线上任一点（如A、A1、A2等）的投影。

     正投影法采用多面正投影来确定点的空间位置。

     点A在V/H两投影面体系中的投影：

    根据正投影的原理，已知点A的水平投影及正面投影则可确定点A的空间位置。因此，点的两面投影即可完全确定点的空间位置。

      2. 点的投影规律

      点的投影规律：投射线Aa和Aa′构成平面Aaaxa′， 因Aa^H面， Aa′^V面，则Aaaxa′^H面，又^V面因三平面互相垂直，其交线必互相垂直，故a′ax^OX，aax^OX。投影面展开后，得a′a^OX，又因Aaaxa′是一矩形，故aax=Aa′=点A至V面的距离。a′ax=Aa=点A至H面的距离同理可得：

a′a″^OZ 

 a′az=Aa″=点A至W面的距离

 a″az=Aa′=点A至V面的距离

    综上所述，点的三面投影规律是：

    (1)点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴；点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴；点的水平投影到OX轴的距离等于点的侧面投影到OZ轴的距离。即：

a′a^OX；a′a″^OZ；aax= a″az

     (2)点的投影到投影轴的距离，等于该点到另一投影面的距离。即：

a′ax = a″ayW = Aa   (点A至H面的距离)；

aax = a″az = Aa′      (点A至V面的距离)；

a′az = aayH = Aa″    (点A至W面的距离)。

    举例：已知点在两个投影面的位置，作图求出第三面投影。

3.点的投影与直角坐标的关系 

     互相垂直的三个投影轴构成一个空间直角坐标系，空间点A的位置可以用坐标值A（x,y,z）表示。点的投影与坐标之间的关系为：

a′az=aayH =Aa″=x；

aax=a″az=Aa′=y；

a′ax=a″ayW=Aa=z。

举例：给出某点坐标，求作三面投影。

4.特殊位置点的投影

      在特殊情况下，点可能处于投影面上或投影轴上。点在某投影面上时，该面投影与空间点本身重合，其余投影在相应的投影轴上，如图中点E、点F；点在某投影轴上时，其两面投影都与空间点本身重合，另一投影在坐标原点，如图中的点G。

5.其他分角内的点

      点位于其他分角时，当投影面展开时，V面不动，H面前半部分向下，后半部分向上旋转至V面重合，故点在不同分角时，其投影与OX轴的相对位置也不同。

3.1.2点的相对位置

1.两点的相对位置

       两点的相对位置指的是空间两点的上下、前后、左右位置关系。x、y、z坐标分别反映了点的左右、前后、上下位置。比较两点的坐标，可以看出两点的相对位置：x大者在左，y大者在前，z大者在上。图中点A在点B的左、后、上方。

      设A、B两点是长方体上的两个对角点。那么，该长方体的长、宽、高就分别等于xA-xB、yB-yA、zA-zB。只要保持坐标差数值不变，改变长方体与投影面的距离并不影响长方体的尺寸。所以,画物体的投影图时可以不画投影轴。

2.重影点及其可见性

      当两点处于同一投射线上时，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影必然重合，这两点称为对该投影面的重影点。

     图中点A、B是对H面的重影点，它们的H面投影a、b重合成一点，为重合投影；点B、C是对W面的重影点，b″、c″重合成一点，为重合投影。

     为区分重影点的可见性，将点的不可见投影加括号表示。如图中点A、B的水平投影重合，从正面投影可以看出点A比点B高，所以a可见，b不可见，用“(b)”表示；点B、C的侧面投影重合，从水平投影可知，点B在点C的左面，所以c″不可见，用“(c″)”表示。