补码(two's complement) 在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码，可以将符号位和数值位统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理。此外，补码与原码的的相互转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路。

补码概述

计算机中的符号数有三种表示方法，即原码、反码和补码。三种表示方法均有符号位和数值位两部分，符号位都是用1表示“负”，用0表示“正”，而数值位，三种表示方法各不相同。

补码的特性

1、一个整数（或原码）与其补数（或补码）相加，和为模。

2、对一个整数的补码再求补码，等于该整数自身。

3、补码的正零与负零表示方法相同。

模

模的概念可以帮助理解补数和补码。

“模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范围，即都存在一个“模”。例如：

时钟的计量范围是0～11，模=12。表示n位的计算机计量范围是0～2^(n)-1，模=2^(n)。

“模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。

例如：假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法：一种是倒拨4小时，即：10-4=6；另一种是顺拨8小时：10+8=12+6=6

在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特性。共同的特点是两者相加等于模。

对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8， 所能表示的最大数是11111111，若再加1称为100000000(9位），但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系统的模为2^8。在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以了。把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。

另外两个概念：

一的补码（one's complement) 指的是正数=原码，负数=反码

二的补码（two's complement) 指的就是通常所指的补码。

整数补码求法

求给定数值的补码分以下两种情况：

正数的补码

正整数的补码与原码相同。

【例1】+9的补码是00001001。（备注：这个+9的补码是用8位2进制来表示的，补码表示方式很多，还有16位二进制补码表示形式，以及32位二进制补码表示形式,64位进制补码表示形式等。每一种补码表示形式都只能表示有限的数字。）

负数的补码

求负整数的补码，符号位不变，数值位各位取反，最后整个数加1。

同一个数字在不同的补码表示形式中是不同的。比如-15的补码，在8位二进制中是11110001，然而在16位二进制补码表示中，就是1111111111110001。以下都使用8位2进制来表示。

【例2】求-5的补码。

因为给定数是负数，则符号位为“1”。

后七位：-5的原码（10000101）→符号位不变（10000101）→数值位取反（11111010）→加1(11111011)

所以-5的补码是11111011。

【例3】数0的补码表示是唯一的。

[+0]补=[+0]反=[+0]原=00000000

[ -0]补=11111111+1=00000000

补码转化为原码

已知一个数的补码，求原码的操作其实就是对该补码再求补码：

⑴如果补码的符号位为“0”，表示是一个正数，其原码就是补码。

⑵如果补码的符号位为“1”，表示是一个负数，那么求给定的这个补码的补码就是要求的原码。

【例4】已知一个补码为11111001，则原码是10000111（-7）。

因为符号位为“1”，表示是一个负数，所以该位不变，仍为“1”。

其余七位1111001取反后为0000110；

再加1，所以是10000111。

补码的绝对值（称为真值）

【例5】-65的补码是10111111

若直接将10111111转换成十进制，发现结果并不是-65，而是191。

事实上，在计算机内，如果是一个二进制数，其最左边的位是1，则我们可以判定它为负数，并且是用补码表示。

若要得到一个负二进制补码的真值（原来的数值），只要对其求补码，就可得到真值。

如：二进制值：10111111（-65的补码）

各位取反（除符号位）：11000000

加1：11000001（-65）

小数补码求法

一种简单的方式，符号位保持1不变，数值位从右边数第一个1及其右边的0保持不变，左边按位取反。

代数加减运算

补码加法

[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补

【例6】X=+0110011,Y=-0101001，求[X+Y]补

[X]补=00110011 [Y]补=11010111

[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补 = 00110011+11010111=00001010

注：因为计算机中运算器的位长是固定的（定长运算），上述运算中产生的最高位进位将丢掉，所以结果不是100001010，而是00001010，。

补码减法

[X-Y]补 = [X]补 - [Y]补 = [X]补 + [-Y]补【1】

【例7】1-1 [十进制]

1的原码00000001 转换成补码：00000001

-1的原码10000001 转换成补码：11111111

1+（-1)=0

00000001+11111111=00000000

00000000转换成十进制为0

0=0所以运算正确。

【例8增】-7-（-10) [十进制]

改为加法形式：-7-（-10）=-7+（-（-10））

-7的补码：11111001

-（-10）的补码：-10的原码为10001010，-（-10）的原码为00001010，

-（-10）的补码就是其原码，为00001010

-7 - （-10)= -7 + 10 = 3

11111001+00001010 = 00000011

转换成十进制为3

补码乘法

补码的乘法不具备【X*Y】补=【X】补×【Y】补的性质。但是【X*Y】补==【X】补×Y

其中，若【Y】补=y31y30……y0，则 Y=-y31*2^31+y30*2^30+……+y0*2^0