学过微积分的人都熟悉定级分的定义，知道有“分割、作和、求极限”一说，或许还用这个方法解过一些题。学了牛顿-莱布尼兹定理以后，有了便捷的数学工具，就没有人会再按定义，用这样的方法来解题了。但请不要忘记，在17世纪创立微积分之前的一千多年里，分割、作和、求极限的方法（也称为无穷小方法）其实一直被运用着，古希腊和古代中国的哲学家和数学家们都曾用这个方法解决过许多问题（参见数学史）。事实上，正是这些工作为此后微积分的建立奠定了基础。

牛顿-莱布尼兹定理的形式化特点容易使人忽视方法的实质，而对于培养创造性思维的目标而言，方法的实质往往比定理和公式更重要。

本讲的基本内容和教学目标，是通过两则案例讨论分割、作和、求极限方法的前两步，即通过分割与作和来估值，并通过细分函数定义区间对估值进行改善。其实不断改善估值的过程已经蕴涵了极限思想。解决问题所运用的都是初等方法，初中学生应能接受。

本讲涉及的关键词有：分割、求和。