无穷级数和前面函数微积分学几乎同时诞生,都以极限为基础,但是本章研究主体为离散型,微积分学研究主体为离散型,本章的学习除了为后继课程提供基础,同时还培养了同学们从不同的角度看问题的思维方式。
本章从简单的数列出发,引出无穷级数的一些基本概念和性质,介绍了正项级数的审敛法和交错级数的审敛法,对于函数项级数主要讨论如何将函数展开成幂级数与傅里叶级数,及其和函数的收敛域和分析性质。通过完成本章达标练习,可使同学们达到以下要求。
一级达标要求:必须深刻理解级数的基本性质和收敛的必要条件;理解绝对收敛与条件收敛的关系;熟练掌握比较法、比较法的极限形式、比值法和根值法等正项级数敛散性判别法;熟记几何级数与p—级数等比较法常用参照级数的收敛性;会用交错级数的莱布尼兹定理;掌握幂级数的收敛半径及收敛域的求法;会利用分析运算性质求幂级数的和函数。
二级达标要求:理解泰勒级数的概念;掌握一些简单函数的麦克劳林展开式;会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数;掌握数项级数审敛的一般程序;掌握利用幂级数的和函数求数项级数的和的方法;会求解综合型的无穷级数问题;掌握将函数展开成傅里叶级数的一般方法。
最后,本章加入了达标自测题,同学们可以自我检测一下本阶段的学习成果。
要论起来聪明才智,极少有人能超过约翰·冯·诺伊曼,他作为现代计算机的设计师和博弈论的创始人,因其快如闪电的心算和过人记忆力而成为传奇。
有个关于他的故事:曾经有人向他提出了一道问题。两个骑自行车的人从长 20 英里的路两端相对出发,速度是每小时 10 英里匀速行驶。当最开始时,一只停在其中一辆自行车前轮上的苍蝇开始以每小时 15 英里的速度向另一辆自行车飞去。当它到达那里时,立即扭转方向回飞,再向第一辆自行车飞去,然后又飞回第二辆,如此反复。它不断地来回飞,直到最后自行车相遇时,它被挤在前轮之间。问在被压扁之前,这只苍蝇总共飞了多远?
这个问题听起来很棘手,苍蝇来回飞行距离由无限多的部分组成,每一部分都比前面的部分要短,把它们加起算清楚似乎是一项艰巨的任务。
当时,冯-诺伊曼听过这个难题时,立即就答到:"15 英里"。提问者显得有点失望:"你也发现了这个窍门。" "什么?我只不过对无穷级数进行求和计算。"冯·诺伊曼笑道。
无穷级数——遵循某种规则的无穷数字、变量或函数之和。在微积分这出大戏里,导数和积分自然是出尽了风头,而无穷级数也占有重要一席之地。
那么为什么要研究它们呢?无穷级数有助于寻找困难问题的近似解,也有助于说明数学严谨性的微妙之处。只不过对于无穷级数的介绍,课堂上老师往往没有给出现实世界的实际应用,而少数出现的示例,比如年金、抵押贷款、化疗方案的设计,对于学生而言来说似乎很遥远。
学习无穷级数最令人信服的理由(我是这么告诉我的学生的)是它们是非常重要连接工具,揭示了数学不同领域之间的联系。只有当触及到了微积分的这一部分后,真正数学世界的大门才被推开,其真正结构展示出来。
在我解释之前,让我们看一下另一个涉及无穷级数的问题。逐步解决它将阐明冯·诺伊曼是如何解决上面苍蝇飞行问题,并且为更广泛地思考无穷级数问题奠定基础。就这样,取个均值价格似乎也不错,但如果你读过一本谈判手册《无限讨价还价的艺术》,就会接着用下一个的提议来再砍价,可以分担均值,只不过现在是在 12 美元与 18 美元之间:"15 美元,就这么定了。" "哦,不,我的朋友,那我就亏了,16.5 美元吧。"卖家说,这种情况一直持续下去,直到你们的价格趋于一致。那么这个终极价格是什么?
答案是一个无穷序列之和。
要想知道它是什么,请观察一下,连续的报价都遵循下面这个模式。
微积分的先驱们发现,当时他们所熟悉的所有函数都可以转换为 "幂级数"这一形式。
正是这种巧合,让莱昂哈德·欧拉发现了数学史上最令人惊叹和影响深远的公式之一:欧拉公式。