本章和重积分、线面积分是上一学期一元函数微积分学知识点的推广和应用,本章为一元函数微分学的推广, 通过本章知识的学习培养学生基本的创新思想和科学探索精神,为后期部分专业课学习、论文的写作和竞赛等提供了准备平台。
自然科学和工程技术中所遇到的函数,往往依赖于两个或更多个自变量,对于自变量多于一个的函数,通常称之为多元函数。多元函数的概念及其微分学是一元函数及其微分学的推广和发展,它们有着许多类似之处,但有的地方也有重大区别。本章包括多元函数的概念、偏导数、全微分、多元函数的极值和最值等内容,这些内容在实际中有着非常广泛的应用。通过完成本章达标实训练习,可使同学们达到以下要求。
一级达标要求:理解二元函数的概念,会求二元函数的定义域,判别二元函数的连续性;计算二元函数的偏导数;求空间曲线的切线和法平面,曲面的切平面和法线。
在此基础之上,实现二级达标要求:二元函数全微分的计算;方向导数与梯度的概念及其计算;多元微分学中极限、连续、可导、可微、偏导数连续之间的关系;多元函数的复合求导与隐函数求导;二元函数的极值与最值的求解。
最后,本章各节加入了达标自测题,同学们可以自我检测一下本阶段的学习成果。
中国古代极限思想
早在春秋战国时期(公元前770——前221),古人就对极限有了思考。道家的庄子在《庄子》“天下篇”中记载:“一尺之捶,日取其半,万世不竭”。意思是说,把一尺长的木棒,每天取下前一天所剩的一半,如此下去,永远也取不完。也就是说,剩余部分会逐渐趋于零,但是永远不会是零。而墨家有不同的观点,提出一个“非半”的命题,墨子说“非半弗,则不动,说在端”。意思是说将一线段按一半一半地无限分割下去,就必将出现一个不能再分割的“非半”,这个“非半”就是点。道家是“无限分割”的思想,而墨家则是无限分割最后会达到一个“不可分”的思想。
公元三世纪,我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”,他创造性地将极限思想应用到数学领域。他设圆的半径为一尺,从圆内接正六边形开始,每次把边数加倍,用勾股定理算得圆内接正十二、二十四、四十八…边形的面积,内接正多边形的边数越多,内接多边形的面积就与圆面积越接近,正如刘徽所说:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至不可割,则与圆周合体,而无所失矣”。这已经运用了极限论的思想来解决求圆周率的实际问题了,“以至不可割,则与圆周合体”,这一思想是墨家“不可分”思想的实际应用。
祖暅之《缀术》有云:“缘幂势既同,则积不容异。”祖暅沿用了刘徽的思想,利用刘徽“牟合方盖”的理论去进行体积计算,得出“幂势既同,则积不容异”的结论。意思是界于两个平行平面之间的两个立体,被任一平行于这两个平面的平面所截,如果两个截面的面积相等,则这两个立体的体积相等。这正是“不可分”思想的延续。
公元三世纪,古希脂诡辩学家安提丰(Antiphon,约公元前430年)在求圆面积时曾提出了用成倍扩大圆内接正多边形边数,通过内接正多边形的面积来表示圆面积的方法,即“穷竭法”。他先作圆内接正方形,然后将边数加倍,得到圆内接正八边形,再加倍得内接正十六边形,依次继续下去,以为这样圆与内接正多边形的差将被“穷竭”。这是一种粗糙的极限论思想,虽然获得的结果是正确的,但在逻辑上是有问题的,谁能保证无限扩大后的正边形的边与圆周会重合呢?这就是所谓的希腊数学家的“关于无限的困惑”。这种边数加倍的过程可以无限制地进行,不会有所终结,因而“差”被“穷竭”的说法是不合适的。
欧多克索斯建立了严谨的穷竭法,并用它证明了一些重要的求积定理。穷竭法的逻辑依据,是欧多克索斯推得的下述结果:“设给定两个不相等的量,如果从其中较大的量减去比它的一半大的量,再从所余的量减去比这余量的一半大的量,继续重复这一过程,必有某个余量将小于给定的较小的量”。这个结果,现在被称为欧多克索斯原理。欧多克索斯的穷竭法可看做是微积分的第一步,但没有明确地用极限概念,也回避了“无穷小”概念。
“穷竭法”后来由古希腊的大科学家阿基米德(Archimedes,公元前287-前212)加以改进。他在用“穷竭法”求抛物线的弓形面积时,发现这种方法似乎还不够严密,因此在获得结果后再用归谬法,从逻辑上证明了结果的正确性。他发现第n个多边形的面积与抛物线弓形面积有一个差值。由于随着n的增大,这个差值也将越来越小,直到不可能是一个确定的大于零的常数,但这个差值也不可能是小于零的,因此根据归谬法差值只可能等于零。
阿基米德在此提出了一个相当于现在无穷小量的概念。同时我们可以看到阿基米德所使用的归谬法正是柯西极限思想的雏形,也就是说现行极限思想只是阿基米德用来证明“穷竭法”结果的方法的思想,而对于分割的过程是没有体现的,也就是对于“不可分量”或“无限可分”思想没有做出解释。