本章为一元函数积分学的推广,把定积分的知识推广到重积分,同时,重积分的运算又回到定积分,学生
从数学的角度体会,砥砺前行,不忘初心的情怀,通过本章知识的学习培养学生基本的创新思想和科学探索精
神,为后期部分专业课学习、论文的写作和竞赛等提供了准备平台。
本章从实际例子的微元法求解出发,引入二重积分和三重积分的概念,不加证明地指出重积分存在的充分条件。对重积分的性质只加以叙述,省略证明。进而,重点介绍了重积分的经典计算方法及其拓展应用。重积分的计算最终都归结为定积分.学习中要抓住它与定积分之间的联系,注意比较它们的共同点与不同点.通过完成本章达标实训练习,可使读者达到以下要求。
一级达标要求:必须深刻理解重积分的概念和性质;学会利用对称性简化计算;掌握在不同坐标系下化重积分为累次积分的经典计算方法,包括利用直角坐标和极坐标计算二重积分的方法,利用直角坐标、柱面坐标计算三重积分的方法。
在此基础之上,实现二级达标要求:会选择合适的坐标系和恰当的积分次序进行积分;掌握分段函数的二重积分方法;会利用极坐标计算一些特殊积分区域下的二重积分;会计算综合型的重积分问题及某些应用问题。
最后,本章各节加入了达标自测题,同学们可以自我检测一下本阶段的学习成果。
牛顿:微积分的创始
怎么计算物体的运动?
艾萨克·牛顿,17世纪和18世纪之交的英国数学家、物理学家和天文学家,对科学革命做出了巨大贡献。他发明的微积分是数学史上的一大里程碑,极大地推进了自然科学的发展。通过微积分,牛顿成功描述了自然界中的许多变化规律,包括经典力学的基石——牛顿运动定律和万有引力定律。
牛顿的时代背景是科学革命的高潮期,这一时期欧洲科学家通过实验和数学推理揭示了自然界的许多基本原理。牛顿出生在英国林肯郡的一个小村庄。他在剑桥大学三一学院学习,在那里他开始对数学、物理和天文学产生浓厚兴趣。牛顿的学术生涯充满了创新,除了微积分的发明,他还在光学领域做出了重大发现,并通过他的著作《自然哲学的数学原理》系统地阐述了他的万有引力定律和三大运动定律。
自然界的真理总是简单的。——牛顿
牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑,它提供了一种分析和描述变化率和累积量的方法。微积分主要由两个基本概念组成:微分和积分。微分学关注的是变化率,即函数在某一点处的瞬时变化速度;积分学则关注的是累积量,即一个量随另一个量变化的总和或总效应。牛顿的微积分理论使得科学家和工程师能够计算物体的速度和位置,分析光和声音的波动,以及优化各种系统的设计和功能。例如,考虑一个简单的物理问题:一个物体从静止开始自由下落的距离如何随时间变化。通过微分学,我们可以确定物体在任何给定时刻的速度(变化率),即速度是时间的函数。通过积分学,我们可以计算出物体在一段时间内下落的总距离(累积量)。这种分析方法不仅适用于物理学,还适用于经济学、生物学、工程学和许多其他领域的问题。