浮点数加减运算

设有两个规格化浮点数的分别为：

                                           X=Mx*2Ex，

                                           Y=My*2Ey，

加减法运算通式为：  

执行浮点数的加减运算，需要经过对阶、尾数加/减、尾数结果规格化、舍入、判溢出等步骤。

⑴．0操作数检查：用来判断两个操作数中是否有一个为0.

⑵．对阶操作：即比较两个浮点数的阶码值的大小，求E=Ex-Ey，然后将小阶对大阶。

⑶．尾数进行加或减运算：实现尾数的加减运算 ，执行两个完成对阶后的浮点数的求和（差）的过程。

⑷．规格化并进行舍入处理：若得到的结果不满足规格化规则，就必须把它变成规格化的数。舍入操作，在执行对阶或右规操作时，会使位数低位上的一位或若干位的数值被移掉，使数值精度受到影响，可以把移掉的几个高位的值保存起来供舍入使用。

对阶

两个浮点数相加或相减，首先要把小数点的位置对齐，而浮点数的小数点的实际位置取决于阶码的大小，因此，对齐两数的小数点，就是使两数的阶码相等，这个过程称为对阶。

首先计算两数阶码和之差，即：

若，表示两数阶码相等，即;

若，表示

若，表示

 当时， 要通过尾数的移位来改变或，使相等。

对阶的规则是：小阶向大阶对齐。即阶码小的数的尾数右移，每右移一位，阶码加1，知道两数的阶码相等为止。

，无需对阶。

，则右移。每右移一位，，直至为止。

，则右移。 每右移一位，，直至为止。

尾数右移后，应对尾数进行舍入。

尾数加/减

对阶之后，就可以进行尾数加/减，即：

算法与前面介绍的的定点数的加/减法相同。

尾数结果规格化

尾数加/减运算之后得到的数可能不是规格化数 ，为了增加有效数字的位数，提高运算精度，必须进行结果规格化操作。

假设尾数用补码表示，如果尾数结果的符号位与最高符号数值位相同，需要使尾数左移以实现规格化，这个过程称为左规。尾数每左移一位，阶码相应减1（）,直至成为规格化数为止。

若在尾数加/减运算中出现溢出，在浮点运算中，只能表明此时尾数的绝对值大于1，而非真正的溢出。这种情况应将尾数右移以实现规格化。这个过程称为右规。尾数每右移一位，阶码相应加1（）。右规最多只有一次。

舍入

通常有三种方法：恒舍法、0舍1入法、恒置1法。

溢出判断

与定点加减法一样，浮点加减运算最后一步也需要判溢出。浮点数的溢出情况是由阶码的溢出决定。

算法流程图

浮点乘除运算

设两个非0的规格化浮点数分别为：

规格化浮点数X、Y乘除运算通式为：

乘法步骤

两浮点数相乘，其乘积的阶码应为相乘两数的阶码之和，其乘积的尾数应为相乘两数的尾数之积。即：

（1）阶码相加

如果阶码用补码表示，阶码相加之后无须校正；当阶码用偏置值为的移码表示时，阶码相加后要减去一个偏移量。

如果阶码相加后产生溢出，应另做处理。

（2）尾数相乘

若、都不为0，则可进行尾数乘法。尾数乘法的算法与前述定点数乘法算法相同。

（3）尾数结果规格化

由于X、Y均是规格化数，所以尾数相乘后的结果一定落在下列范围内：

当时，乘积已是规格化数，无须再进行规格化操作；

当时，则需要左规一次。左规时调整阶码后如果发生阶码下溢，则做机器零处理。

除法步骤

两浮点数相除，其商的阶码应为相除两数的阶码之差，其商的尾数应为相除两数的尾数之商。即：

（1）尾数调整

为了保证商的尾数是一个定点小数，首先需要检测。如果不小于，则右移一位，，称为尾数调整。因为X、Y都是规格化数，所以最多调整一次。

（2）阶码相减

如果阶码永不吗表示，阶码相减以后无须校正；当阶码用偏置值为的移码表示时，阶码相减后要加上一个偏移量。阶码相减后，如有溢出，应另作处理。

（3）尾数相除

若、都不为0，则可进行尾数除法。尾数除法的算法与前述定点数除法算法相同。因为开始时已进行了尾数调整，所以运算结果一定落在规格化范围内。即：

浮点运算部件

浮点运算部件通常由阶码运算部件和尾数运算部件组成，其各自的结构与定点运算部件相似，但阶码部分仅执行加减法运算。其尾数部分则执行加减乘除运算，左规时有时需要左移多位。

图3.7-1 80*87浮点运算器逻辑框图

关键词（keyword）

浮点表示法：floating-point representation

规格化数：normalized number

非规格化数：denormalized number

指数（阶值）exponent

阶值上溢：exponent overflow

阶值下溢：exponent underflow