关系的性质

◇ 列是同质的。

◇ 不同的列可以出自同一个域，其中每一列称为一个属性，要给予不同的属性名。

◇ 列和行的顺序没有限制。

◇ 任意两个元组不能完全相同。

◇ 所有属性值都是原子，不允许属性又是一个二维关系。

说明：

（1）“列是同质的”指的是同一列中数据的数据类型是一致的。

（2）“不同的列可以出自同一个域，其中每一列称为一个属性，要给予不同的属性名。”指的是不同的列可以具有相同的数据类型，比如学号可以是整型，年龄也可以是整型。在同一个关系中，绝对不允许有同名的属性；在不同的关系中，可以有相同的属性名，互不影响。

（3）“列和行的顺序没有限制。”指的是在关系中行是可以随意变更顺序的，第1行和第2行，第7行和第70行交换，不会带来任何影响；列的交换亦是如此。

（4）“任意两个元组不能完全相同。”指的是同一个关系中不能出现完全相同的两行数据。

（5）“所有属性值都是原子，不允许属性又是一个二维关系。”指的是关系中的每一个属性都必须是原子的，即不可拆分的。

【例1】下面的关系有无错误？

解析：在上面的关系中，元组1（数据行1）和元组4（数据行4）完全相同，这违反了关系的性质“任意两个元组不能完全相同”。另外元组3（数据行3）中的“名称”属性值是非原子的，可进一步拆分为“部门名称”（财务部）和“部门经理”（张三），违反了关系的性质“所有属性值都是原子，不允许属性又是一个二维关系”。

关系的完整性规则

1. 实体完整性规则

实体完整性规则是保证关系中的每个元组都是可识别的和唯一的，即所有的关系都必须有主码，主码的值不能为空，且不能重复。

【例2】下面的关系有无错误？

解析：在上表中，部门号是主码。但元组2（数据行2）和元组4（数据行4）的主码为空，违反了完整性规则。

2. 参照完整性规则

参照完整性规则：如果关系R2的外码X与关系R1的主码相对应，则外码X的每个值必须在关系R1主码的值中找到，或者为空值。

【例3】下面的关系有无错误？

解析：员工关系（左表）中的“部门”是外码，参考了部门关系（右表）中的主码“部门号”。这里引出一个概念：因为员工关系通过外码参照了部门关系，所以员工关系被称作“参照关系”，部门关系被称作“被参照关系”。员工关系中元组1的外码是“011”，在被参照关系的主码中可以找到，所以这个参照没有问题；元组2的主码为空，符合参照完整性规则，也没有问题；但元组4的外码为“545”，在被参照关系的主码中无法找到，所以违背了参照完整性规则，因此“545”是一个无效的外码。

3. 用户自定义完整性

用户对某一具体数据指定的约束条件进行检验。

【例4】下面的关系有无错误？

解析：用户自定义完整性的方式比较丰富，比如唯一性约束、check约束等等。上面的关系中我们将“电话”属性的数据类型定义为整型，这也属于一种自定义完整性。那么“abc”作为一个字符串，显然不符合“整型”的要求，所以违背了我们自定义的完整性规则。

关系代数的概念

关系代数是施加于关系上的一组集合代数运算，每个运算都以一个或多个关系作为运算对象，并生成另外一个关系作为该关系运算的结果。

说明：参与运算的操作数和运算的结果都是关系。

关系代数的分类

1. 传统的集合运算

关系的并、差、交、积。

2. 专门的关系运算

选择、投影、连接、除。

传统的集合运算

1. 关系的并

R∪S：关系R和关系S的所有元组合并，再删去重复的元组，组成一个新关系。

R∪S={ t | t ∈ R V t ∈ S }

【例1】求取r∪s的运算结果。

解析：两个关系的并运算其实就是将两个关系中不重复的元组合并为一个新关系，结果如下：

由于（a，2）重复，所以只保留了其中的一条。

2. 关系的差

R－S：由属于R而不属于S的所有元组组成的集合，即关系R中删除与关系S中相同的元组。

R－S={ t | t ∈ R ∧ t  S }

【例2】参考【例1】中的r和s，求取r-s的运算结果。

解析：两个关系的差运算其实就是从被减关系中删除同时在被减关系和减关系中出现的元组。从被减关系中删除相应元组后的结果即为差运算的结果。因为r中只有元组（a，2）同时在s中出现，所以将元组（a，2）从r中删除，r中的其它元组保留；差运算结果如下：

3. 关系的交

R∩S：由既属于R又属于S的元组组成的集合。

R∩S={ t | t ∈ R ∧ t ∈ S }

【例3】参考【例1】中的r和s，求取r∩s的运算结果。

解析：两个关系的交运算其实就是求取同属两个关系的元组，比如r和s中只有（a，2）同属两个关系，所以这就是它们相交的结果；交运算结果如下：

4.关系的积

R×S：R与S进行笛卡儿积运算。

R×S={ trts | tr ∈ R ∧ ts ∈ S }

【例4】参考【例1】中的r和s，求取rxs的运算结果。

解析：两个关系的积运算其实就是求取两个关系笛卡儿积，运算结果如下：

说明：笛卡儿积的运算方式是非常“简单粗暴”的。对于r和s作笛卡尔积运算，它会从r中逐步取出每一个元组，将其和s中的每一个元组依次组合为一个更大的元组，最后将所有的组合结果作为积运算的结果，如例4的结果所示。所以我们可以很简单地算出笛卡儿积运算后的元组数量，即参与运算的关系中元组的数量之积。需要说明的是：笛卡儿积运算在从r和s中选择元组时，没有任何限制，不做任何筛选，每一个元组都会被取出参与运算。

专门的关系运算

关系运算包括选择、投影、连接和除。

1. 选择

选择运算是从关系中挑出满足给定条件的所有元组。

记作：σf (R)        其中σ是选择运算符，f是选择条件（以下标形式出现），R是目标关系。

选择运算是根据条件对关系中指定列的属性值进行匹配测试，从而筛选出符合条件的元组。它是一种针对元组的操作，只会过滤掉不符合条件的元组，并不会对列进行过滤。

【例1】从关系S中选择属性“b”等于5的元组。

结果如下：σb=5 (S)

说明：大家可以看出，选择的最终结果将不符合条件“b=5”的其它元组（行）过滤掉了，但并未对属性（列）进行过滤，显示了关系中的所有属性（列）。

提示：因为元组和行的概念一致，属性与列的概念一致，所以元组与行，属性与列在后面的讲解中将会出现互相替用的情况。

2. 投影

投影运算是从关系中挑选若干属性组成新的关系。

记作：Πx (R)                  

其中Π是投影运算符；x是将要投影的属性列表，多个属性用逗号分隔（x以下标形式出现）；R是目标关系。

投影运算是从目标关系中直接提取出用户指定的若干属性来构成一个新关系。它是一种针对属性的操作，只会过滤掉用户未指定的属性，并不会对元组进行过滤。

【例2】从关系R中投影出A、C两列。

结果如下： ΠA,C (R)

说明：投影的最终结果保留了用户指定的A、C两列。B列因为用户未指定，所以被过滤掉了。但是投影运算对行并无影响。关系R中原有的3行在投影结果中均被保留。

列之间的基本运算

【例3】查询credit-info关系中每位用户信用卡的已消费金额，要求显示用户名和已消费金额。

解析：在关系credit-info中：customer-name是用户名，limit是信用卡限额，balance是信用卡余额，由此可见“已消费金额”在原始关系中并不存在，所以无法通过投影来直接得到我们需要的数据。细心的同学可能已经观察到：已消费金额其实就是用限额减去余额，即limit-balance。关系运算支持投影时，列之间进行基本的数学运算，所以类似“limit-balance”这样的方式是合法的。至此，我们可以写出查询每位用户信用卡的已消费金额的关系代数表达式：

Πcustomer-name , limit-balance(credit-info)

结果预览如下：

这里的结果值得我们关注：结果关系中的第2列没有列名！第2列代表了每位客户的已消费金额，它并不是原关系中本身就存在的列，而是由limit列和balance列之间进行减法运算（limit-balance）所产生的，所以这是一个新列，因此它并不具有列名。

更名运算符

没有列名的列总是给人带来困扰。因为除了关系代数表达式编写者本身很清楚地知晓这一列的含义之外，其他用户不管是从结果，还是从关系代数表达式都未必能清楚地知道新列的含义。所以我们很有必要在生成结果时，给这些没有列名的列指定列名。这就要用到“更名运算符”（也被称作“别名运算符”）。

更名运算符：   as   或者   空格

因此，我们可以利用更名运算符来给新产生的“已消费金额”列指定名称，关系代数表达式如下：

Πcustomer-name , (limit-balance) as available(credit-info)

结果预览如下：

投影与选择运算的混合使用

【例4】从客户关系（Customer）中查询居住在“Harrison”的客户的姓名。

解析：这道题的思路是首先要从客户关系中找出记住在"Harrison"的所有客户，然后再投影出他们的姓名。第一个动作可以通过选择运算来完成，选择条件是city='Harrison'；比如我们可以写作：   

σcity=‘Harrison’(customer)，执行结果预览如下：

如果我们将第一个动作执行的结果看作新关系R，那么第二个动作就可以对R实施投影运算：

Πcustomer-name（R），执行结果预览如下：

这就是我们最终希望得到的结果。回顾一下我们的两个动作：

R =    σcity=‘Harrison’(customer)

结果=   Πcustomer-name（R）

所以，我们将R代入结果，这就是最终的关系代数表达式：

Πcustomer-name(σcity=‘Harrison’(customer))

从这道题的结果，大家可以看出选择运算和投影运算是可以结合起来使用的，而这种结合使用的方式也是我们后面在进行数据查询时所广泛采用的一种方式。

重要说明：单引号的作用

在【例4】最终给出的关系表达式中，我们给出了city=‘Harrison’这样的选择条件。不知大家是否注意到‘Harrison’所加的单引号？

在关系代数表达式或以后的SQL语言中，对于字符串和时间日期常量，必须用单引号包围；而数值类型的常量则无需使用单引号。大家一定要记住这一点！

3. 连接

（1）连接的概念

连接运算是将两个关系的属性名拼接成一个更宽的关系，生成的新关系中包含满足连接条件的元组。

思考：为什么需要连接？

前面在介绍选择和投影运算时，它们所涉及到的列（需要测试的列和需要投影的列）都处于一个关系之中，因此我们的目标关系总是只有一个关系。如果当我们需要测试的列或需要投影的列分布在多个关系之中，那么这个时候我们所需的目标关系就会有多个。这时如何处理呢？此时就是连接发挥作用的时候。

（2）连接的分类

连接可分为θ连接、等值连接、F连接、自然连接、外连接、半连接、反连接。

1. θ连接

θ连接是从关系R和S的笛卡尔积中选取属性值满足某一个条件运算符θ的元组。记作： 

i和j分别是关系R和S中第i个和第j个属性的序号，θ是条件运算符（比如>、<、=等）。

2. 等值连接

对于θ连接，当条件运算符θ是“=”时，则该θ连接被称作“等值连接”，所以等值连接其实是θ连接的一个特例。

【例1】计算。

解析：是一个等值连接。连接的条件是"[3]=[2]"，即R中每一行的第3列（C）和S中每一行的第2列（C）做相等性测试，如果左右两行对应列的值相等，那么就将左右两行组合成为一个新行。比如取出R中的第1行（1,2,3）和S中的第2行（5,6,3），因为对应列相等，符合连接条件，所以将两行组合成一个新行（1,2,3,5,6,3）。最终的连接结果如下：

3. F连接

F 连接是从关系R和S的笛卡尔积中选取属性值满足某一个条件公式F的元组。记作：

F形为F1∧F2∧…∧Fn  ;每个Fp形为”iθj”； i和j分别是关系R和S中第i个和第j个属性的序号。

说明：不难看出F连接和θ连接的联系。和θ连接相比，F连接增加了更多的连接条件。

4. 自然连接

自然连接是除去重复属性的等值连接，记作：R ⋈ S。

【例2】参考【例1】中的R和S，计算R ⋈ S。

解析：自然连接是一种最重要、最常用的连接形式。两个关系在做自然连接时，会根据“同名”的原则自动找到对应的列进行等值比较；同时也会在结果中去除重复属性。运算结果如下：

【例3】从loan关系（左侧关系）和borrow关系（右侧关系）中找出所有在银行中有贷款的客户姓名及相应贷款金额和贷款编号。

解析：loan存储的是贷款信息，borrow存储的是客户的借贷信息。两个关系通过“loan-number”列关联。对于borrow中的任意一位客户，都可以通过"loan-number"列去和loan关系中同名的"loan-number"列进行等值匹配，从找出与之对应的元组。这个元组就是该客户对应贷款的详细信息。示意图如下：

题目中要求找到每一位有贷款客户的姓名及相应贷款金额和贷款编号，考虑到这些数据分布在"loan"和"borrow"两个关系中，因此我们必须对两个关系进行连接。连接的条件就是将borrow中的"loan-number"列和loan中的"loan-number"列进行等值比较。等值比较，且比较的列名相同，这不就是一个自然连接吗！所以我们在完成自然连接以后，再将所需的列投影出来即可。最终的关系代数表达式是：

Πcustomer-name,loan-number,amount(borrower ⋈ loan)

数据结果示意图如下：

【例4】找出居住在Harrison并在银行有帐户的客户,显示其账户所在支行的名称。

customer：客户信息关系；depositor：客户储蓄关系；account：客户账户关系

解析：第一步是要确定操作的目标表。对客户的筛选条件是其居住城市，代表居住城市的city列在customer关系中，因此可以确定customer关系是我们的目标关系之一；需要投影的列是支行名称，而支行名称branch-name在account关系中，因此现在我们的目标关系就有account和customer。观察这两个关系，会发现它们之间并无关联的列存在，因此account与customer之间不能直接连接，需要找一个桥梁，而这就是depositor关系。customer可以利用自己的customer-name和depositor关系中的同名列进行连接，然后depositor可以利用自己的account-number列和account关系中的同名列进行连接，从而关联起customer和account。所以我们的目标关系有3个：customer、depositor、account。

第二步是确定目标关系之间的连接条件。根据上面的分析，三个关系之间的连接均是通过同名列进行等值比较来实现连接的，所以这是一个典型的自然连接，即customer⋈depositor⋈account。

第三步，给出题目的筛选条件，即 σ city=‘Harrison’(customer⋈depositor⋈account)。

最后，对需要的列进行投影，即最终结果为：

Πbranch-name（σcity=‘Harrison’(customer⋈depositor⋈account)） 。

数据结果的示意图如下：

讨论：此题其实还有另一种写法。

第一步：首先找到居住在“Harrison”的客户，即：σcity=‘Harrison’(customer)。

第二步：因为最后需要投影的列branch-name在account关系中，通过关系depositor与目标关系account连接，即：

（σcity=‘Harrison’(customer)）⋈depositor⋈account

第三步：投影出branch-name列，即得到最终结果：

Πbranch-name（（σcity=‘Harrison’(customer)）⋈depositor⋈account）

思考：第一种写法和第二种写法可以实现完全相同的效果，但哪一种更有效率呢？

效率高低对于数据库而言是一个很有价值的指标。效率越高，意味着数据库付出的执行代价越少，响应的时间越快。这应该是我们不懈追求的目标。首先大家需要明白的是“连接”对于数据库而言是一项非常耗时耗力的工作，因为数据库需要对参与连接运算的两个关系中的所有元组进行逐行匹配。因此不难想象的是：参与连接运算的关系越少，连接的效率越高；参与连接运算的数据量越少，效率越高。所以提高效率的措施之一就是尽量避免不必要的连接或减少参与连接的元组数量。

对于【例4】，减少连接的关系数量是不可行的，因此我们只有尽量减少参与连接的数据量，即元组数量。所以我们首先利用条件“city='Harrison'”对关系customer中的数据进行筛选，以达到减少连接数据的目标（在本例中，先做筛选以后，需要连接的数据从5行变为2行。），从而提高连接效率。因此第二种写法比第一种写法更有效率。

【例5】找出所有在银行既有贷款又有帐户的客户。

解析：depositor关系中存储的是客户姓名和对应的储蓄账号，borrow关系中存储的是客户的姓名和对应的贷款。因此如果哪位客户同时出现在这两个关系中，那么他就是题目要找的客户；所以我们可以依据两个关系同时拥有的“customer-name”列做等值比较，从而对两个关系进行自然连接来找出目标客户。如果depositor关系中的某位客户能够和borrow连接成功，那么这位客户就一定同时在两个关系中出现了。我想大家对于这一点应该不难理解。因此本题只是一个简单的自然连接：

Πcustomer-name(borrow⋈depositor)

在这里，我们只是投影出了客户的姓名。

思考：这道题还有其它做法吗？

根据上面的分析，大家都知道目标客户就是同时在两个关系中出现的客户。因此我们能否换种说法：目标客户就是两个关系中列“customer-name”的交集。如果你理解了这一点，那么这道题其实就可以用一个集合的交运算来解决，结果如下：

Πcustomer-name(borrower) ∩  Πcustomer-name (depositor)

5. 外连接

外连接允许不满足连接条件的元组也会出现在连接结果中。

在开始讨论各种不同类型的外连接以前，我们给出以下示范数据；后面的示例将基于以下数据。

（1）左外连接

左外连接将连接符号左边的关系中不满足连接条件的元组也保留到连接结果中，并在连接结果中将该元组所对应的右边关系的各个属性均置成空值(NULL)。记作：R   *⋈   S 。

【例6】计算R *⋈ S。

解析：R与S做左外连接，需要注意的是左侧是R，因此根据左外连接的定义，将会对R与S根据B、C两列的列值做等值比较。R中的第1、2行均可在S中匹配成功，但第3行不行。如果是自然连接，那么第3行是无法包含在连接结果中的，但左外连接给了第3行一个机会，让它出现在了最终的连接结果中。

那么，这就会出现一个问题：最后的连接结果中一定会出现S中的列D，既然第3行没有在S中找到与之匹配成功的行，那么第3行连接以后的D列是什么值呢？所有外连接都会用空值“NULL”来填充这种无法匹配成功的列值。

最终的结果如下：

大家可能会问：那么S中不能连接成功的第3行数据呢？记住，这是左外，只保留左侧关系中不能匹配成功的元组。

说明：相对于外连接，我们把前面连接结果中只包含能够匹配成功的元组的连接形式（比如自然连接等）称作内连接。

（2）右外连接

右外连接将连接符号右边的关系中不满足连接条件的元组也保留到连接结果中，并在连接结果中将该元组所对应的左边关系的各个属性均置成空值(NULL)。记作：R   ⋈*   S 。

【例7】计算R ⋈* S。

解析：右外与左外相反，将会保留右侧关系中不能匹配成功的元组。计算结果如下：

（3）全外连接

全外连接将连接符号两边的关系中不满足连接条件的元组均保留到连接结果中，并在连接结果中将该元组的相关属性均置成空值(NULL)。记作：R   *⋈*  S 。

【例8】计算R *⋈* S。

解析：全外结合了左外与右外的特点，将会把两侧关系中不能匹配成功的元组均予以保留。计算结果如下：

6. 半连接

半连接将在两个关系之间执行连接操作，并将结果投影在第1个操作关系的所有属性上。记作：R ⋉ S 。

【例9】计算R ⋉ S。

解析：半连接限制了最终出现在连接结果中的列。它只会保留左侧关系中的所有列，右侧关系中的其它列均会被忽略。另外需要说明的是半连接不同于外连接，它不会保留无法匹配成功的元组。计算结果如下：

7. 反连接

反连接在两个关系之间执行连接操作时，保留第1个关系中在公共属性上不相等的元组的所有属性。记作：R ▷ S 。

【例10】计算R ▷ S。

解析：反连接可以看作是对半连接的一个取反操作。它保留的是无法匹配成功的元组，且只保留左侧关系中的所有列。计算结果如下：

好了，够了！各种连接，目不暇接！好消息是关于“连接”运算，我们就给大家介绍到这里。但愿你也认为这是一个好消息！

关系还可以做除法！的确是这样。那么关系的除法运算是怎样的呢？在这一节，我们将会揭开关系除法运算的面纱！

为了便于讨论，我们示意性地给出以下两个关系：

说明一下：假定SC是学生的选课信息关系，sid是学生的学号，cid是该学生所选课程的课程号。C是我们给定的一个局部的课程关系，cid是课程号。

来看一下我们遇到的问题：在SC中检索选修了C中所有课程的学生的学号。

这个问题如何解决呢？答案就是关系的除法：SC ÷ C。

这是怎么回事？让我们来看一下SC÷ C的运算步骤：

第1步：从SC中取出sid列（即去除与C中相同的列）。sid就是我们需要判定的学生。

第2步：将第1步取出的sid列中的每一个元祖和C分别做笛卡儿积。如果其中任何一个元祖和C进行笛卡儿积运算的结果全部包含在SC中，那么该元祖即为除法运算的结果之一。

比如对于第1步取出的sid列，我们依次进行判定：

第1轮：取出第1个元祖1，将其和C做笛卡儿积，得到两个元祖{（1，4），（1，7）}；判定{（1，4），（1，7）}是否全在SC中？根据SC中的数据，全部存在，所以1是除法运算的结果。

第2轮：取出第2个元祖2，将其和C做笛卡儿积，得到两个元祖{（2，4），（2，7）}；判定{（2，4），（2，7）}是否全在SC中？根据SC中的数据，（2，4）并未出现在SC中，所以2不是除法运算的结果。

第3轮：取出第3个元祖3，将其和C做笛卡儿积，得到两个元祖{（3，4），（3，7）}；判定{（3，4），（3，7）}是否全在SC中？根据SC中的数据，（3，7）并未出现在SC中，所以3不是除法运算的结果。

第4轮：取出第4个元祖4，将其和C做笛卡儿积，得到两个元祖{（4，4），（4，7）}；判定{（4，4），（4，7）}是否全在SC中？根据SC中的数据，（4，4），（4，7）均未出现在SC中，所以4不是除法运算的结果。

结论：SC ÷ C的结果为1，即：

这就是关系的除法运算过程，我们给出除法运算的定义：

关系的除法   R   ÷  S

设有关系R(X,Y)与关系S(Z)，其中X，Y，Z 为属性集合。假设Y和Z具有相同的属性个数，且对应属性出自相同域。关系R(X,Y)除以 S(Z) 所得的商关系是关系R在属性X上投影的 一个子集，该子集和S(Z)的笛卡尔积必须包含在R(X,Y)中。

我们再次给出示范性的R和S供大家来理解一下这个定义：

根据上面的定义，可得出以下结论：

R中包含X，Y两个属性集合，其中X={A}，Y={B,C}；

S中包含Z，T两个属性集合，其中Z={B,C}，T={D}，T对于此处的除法运算没有意义，可忽略。

R中的Y和S中的Z具有相同的属性个数（都是2个：B、C），且出自相同域（字符串）。

所以R÷S的商是R在属性A上投影的一个子集，该子集和S(B,C)的笛卡尔积必须包含在R(A, B, C)中。

据此，对属性A中的每一个元祖（a1,a2,a3,a4）进行检视，看它们与S（B,C）的笛卡儿积是否全部包含在R中？

A=          S（B,C） =

需要说明的是A中相同的元祖无需重复测试。

第一趟：取出A中的元祖a1，将其和S（B,C）做笛卡儿积，得到两个元祖{（a1,b1,c2），（a1,b2,c1）}；判定{（a1,b1,c2），（a1,b2,c1）}是否全在R(A,B,C)中？根据R中的数据，全部存在，所以a1是除法运算的结果。

第二趟：取出A中的元祖a2，将其和S（B,C）做笛卡儿积，得到两个元祖{（a2,b1,c2），（a2,b2,c1）}；判定{（a2,b1,c2），（a2,b2,c1）}是否全在R(A,B,C)中？根据R中的数据，全部存在，所以a2是除法运算的结果。

第三趟：取出A中的元祖a3，将其和S（B,C）做笛卡儿积，得到两个元祖{（a3,b1,c2），（a3,b2,c1）}；判定{（a3,b1,c2），（a3,b2,c1）}是否全在R(A,B,C)中？根据R中的数据，(a3,b1,c2)并未出现在R中，所以a3不是除法运算的结果。

第四趟：取出A中的元祖a4，将其和S（B,C）做笛卡儿积，得到两个元祖{（a4,b1,c2），（a4,b2,c1）}；判定{（a4,b1,c2），（a4,b2,c1）}是否全在R(A,B,C)中？根据R中的数据，（a4,b1,c2），（a4,b2,c1）均未出现在R中，所以a4不是除法运算的结果。

结论：R(A,B,C) ÷ S(B,C)的结果为（1，2），即：

我们再次详细地阐述了关系除法的运算过程，希望大家真正地理解了除法运算。接下来我们准备在关系代数表达式中运用除法运算来解决一个实际问题。

【例1】找出在位于Brooklyn的所有支行都有帐户的客户。

解析：这道题我们可以分作3步来完成：

第1步：找到位于Brooklyn的所有支行。

r1=πbranch-name(σcity=‘Brooklyn’(branch))

结果示意如下：

第2步：找到在支行有帐户的所有客户。

r2 =Πcustomer-name,branch-name(depositor⋈account)

结果示意如下：

第3步：找出在位于Brooklyn的所有支行都有帐户的客户。这是我们的最终目的，但这一步如何实现呢？没有账户的客户自然是不用管了，而所有有账户的客户均已被我们找出，存在了r2中。所以我们的办法当然是扫描r2中的每一个客户，将其与r1中的支行进行笛卡儿积，然后判断该客户与所有支行的组合是否都在r2中？如果有任何一个不在，则都说明该客户未在r1所表示的所有支行有账户；否则说明该客户在r1中的所有支行均有账户。回顾一下，这不就是除法运算的定义吗？所以这一步只需要利用除法运算即可解决问题。

r2 ÷ r1 = πcustomer-name,branch-name(depositor⋈account)

            ÷ πbranch-name(σcity=‘Brroklyn’ (branch))

因此最终的关系代数表达式是：

πcustomer-name,branch-name(depositor⋈account)

  ÷ πbranch-name(σcity=‘Brroklyn’ (branch))

小结：除法运算的运用时机和方法其实并不好掌握。我们尝试着为大家小结一下，以便于大家能够更加准确和灵活地使用除法运算来解决问题。

此处以上例的题目来说明：

“找出在位于Brooklyn的所有支行都有帐户的客户。”

1. 运用时机

一般在题目中出现“所有”或“全部”字样的时候，就应该考虑使用除法运算。

2. 除数和被除数的确定

除数（除关系）：一般在题目中出现“所有XX”或“全部XX”的时候，那么这个“所有XX”或“全部XX”就是除法运算中的除数，比如例1中的“所有支行”就是除法运算中的除数。除数也许是一个现存的关系，也许是一个需要通过选择或投影运算来构造的新关系。一般来讲，除关系中出现的列就是“所有XX”中“XX”所对应的列。比如例1中的“所有支行”中的“支行”就是我们确定除数应该包含哪些列的依据。但是“支行”本身并不是一个具体的列，在例1的branch关系中，有branch-name,city,assets列，哪些列是我们构造除数关系所需要的呢？这里可以从两个方面来考虑：能够代表支行、区分支行的只有branch-name；观察depositor和account关系，它们都含有branch-name，而没有city、assets列；其实大家都清楚branch-name在此处是一个外键。一个客户在支行有没有账户，只是看该客户与branch-name的组合是否存在？与该支行的city和assets信息并无关系，所以除数关系中应该包含的列只有branch-name。因此在例1中我们采用了选择和投影运算构造出了一个新关系来充当除数。

被除数（被除关系）：和除数的构造相同，被除数也许是一个现存的关系，也许是一个需要通过选择或投影运算来构造的新关系。不管如何构造，必须保证被除数中应该包含两个部分：（1）除数所包含的列；（2）希望查询的列。在例1中，我们最后构造出的被除数就包含有除数所包含的列branch-name，以及希望查询的列customer-name。被除数中的数据不需要进行筛选，它是我们判定一个元组是否是商的重要依据。

以上小结仅是一种经验的总结，希望对大家掌握关系的除法运算有所帮助。