《高等数学》（第五版）. 同济大学数学教研室主编.高等教育出版社,2002.7

《高等数学》.华东师大数学系编.高等教育出版社

《数学分析》.华东师大数学系编.高等教育出版社

《高等数学》课程教学大纲

一、课程基本信息

二、课程的性质与任务

《高等数学》是物理学专业、新能源科学与工程专业的学科（专业）基础必修课；通过本课程的学习,使学生受到比较严格的科学思维训练，有效地培养学生的理性思维，提高学生的数学素质，为继续学习专业各后继课程打下扎实的数学基础。

三、课程教学目标

通过本课程的学习,使学生系统地掌握高等数学的基本概念、基本理论、基本方法。培养学生比较熟练的运算能力﹑抽象思维能力﹑逻辑推理能力﹑几何直观和空间想象能力；培养学生具有一定的自学能力和较强的独立分析、解决问题的能力，具有较好的数学素养，具备扎实的理论功底。

四、课程教学内容及基本要求

1.课程内容及课时安排：

本课程分两个学期开设，第一学期 讲授《高等数学》第一章---第六章，共64学时，第二学期，讲授《高等数学》第七章---第十二章，共64学时。

2. 教学内容、学时分配和基本要求

第一章  函数与极限

1. 主要内容：

（1）映射与函数：集合、映射、函数。

（2）数列的极限：数列极限的定义、收敛数列的性质。

（3）函数的极限：函数极限的定义、函数极限的性质。

（4）无穷小与无穷大：无穷小、无穷大。

（5）极限运算法则。

（6）极限存在准则、两个重要极限。

（7）无穷小的比较。

（8）函数的连续性与间断点：函数的连续性、函数的间断点。

（9）连续函数的运算与初等连续函数的连续性：连续函数的和、差、积、商的连续性、反函数与复合函数的连续性、初等函数的连续性。

（10）闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理与介值定理。

2. 重点难点：

重点：函数、反函数与复合函数、初等函数的概念，数列与函数的极限、无穷小与无穷大、函数的连续性与间断点的定义，收敛数列的性质，函数极限的性质，极限的运算法则，极限存在准则及两个重要极限，无穷小的比较，连续函数的和、差、积、商的连续性，反函数与复合函数的连续性，初等连续的连续性。

难点：函数、反函数与复合函数、初等函数的概念，数列与函数的极限、无穷小与无穷大、函数的连续性与间断点的定义，收敛数列的性质，函数极限的性质，极限存在准则、两个重要极限及无穷小的替换在极限运算中的运用，连续函数的和、差、积、商的连续性，反函数与复合函数的连续性，初等连续的连续性。

3. 教学方法：

本章的教学以讲授为主，辅以习题练习、讨论与自学。基本内容由老师讲授，通过习题课巩固。注意加强学习方法的引导及课外辅导，同时在教学中注意与几何直观相结合，逐步推广使用多媒体教学手段。

4. 教学要求：

（1）使学生理解并掌握映射、函数的基本概念及函数的简单性质。

（2）理解并掌握数列的极限、函数的极限、无穷大与无穷小的定义与性质。

（3）熟练掌握极限的运算法则，理解并掌握极限存在准则及两个重要极限。

（4）理解并掌握无穷小的比较，熟练掌握无穷小的替换在极限运算中的运用。

（5）理解并掌握函数的连续性及间断点的定义。

（6）熟练掌握连续函数的和、差、积、商的连续性，反函数与复合函数的连续性及初等函数的连续性。

（7）理解并掌握闭区间上的连续函数的有界性与最值定理，零点定理与介值定理。

第二章  导数与微分

1. 主要内容：

（1）导数概念：导数的定义、导数的几何意义、函数可导性与连续性的关系。

（2）函数的求导法则：函数的和、差、积、商的求导法则、反函数的求导法则、复合函数的求导法则、基本求导法则与导数公式。

（3）高阶导数。

（4）隐函数及由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率：隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率。

（5）函数的微分：微分的定义、微分的几何意义、基本初等函数的微分公式与微分运算法则、微分在近似计算中的应用。

2.重点难点

重点：导数的定义，几何意义，可导与连续的关系，函数的求导法则，隐函数及由参数方程所确定的函数的导数，函数的微分。

难点：导数的定义，函数的和、差、积、商的求导法则，反函数的求导法则、复合函数的求导法则，隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数，微分的定义，几何意义及微分运算法则。

3. 教学方法

本章的教学以讲授为主，辅以习题练习、讨论与自学。基本内容由老师讲授，通过习题课巩固。注意加强学习方法的引导及课外辅导，同时在教学中注意与几何直观相结合，逐步推广使用多媒体教学手段。

4. 教学要求

（1）使学生理解并掌握导数的定义、几何意义、可导与连续的关系。

（2）熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则、反函数的求导法则、复合函数的求导法则、基本求导法则与导数公式。

（3）掌握隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率。

（4）理解并掌握微分的定义、几何意义、基本初等函数的微分公式与微分运算法则、微分在近似计算中的应用。

第三章  微分中值定理与导数的应用

1. 主要内容：

（1）微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。

（2）洛比达法则。

（3）*泰勒公式。

（4）函数的单调性与曲线的凹凸性：函数单调性的判定法、曲线的凹凸性与拐点。

（5）函数的极值与最大值最小值：函数的极值及其求法、最大值最小值问题。

（6）函数图形的描绘。

2.重点难点

重点：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，洛必达法则，函数的单调性及曲线的凹凸性与拐点，函数的极值，最大值最小值问题，函数图形的描绘。

难点：罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，洛必达法则，函数的单调性及曲线的凹凸性与拐点，函数的极值，最大值最小值问题。

3. 教学方法

本章的教学以讲授为主，辅以习题练习、讨论与自学。基本内容由老师讲授，通过习题课巩固，其余部分〔主要是*号部分〕由学生自学提高。注意加强学习方法的引导及课外辅导，同时在教学中注意与几何直观相结合，逐步推广使用多媒体教学手段。

4. 教学要求

（1）使学生理解并掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。

（2）熟练掌握洛必达法则。

（3）理解泰勒公式。

（4）理解并掌握函数单调性的判定法、曲线的凹凸性与拐点的判定法。

（5）理解并掌握函数的极值及其求法、最大值最小值问题。

（6）掌握函数图形的描绘。

第四章  不定积分

1. 主要内容：

（1）定积分的概念与性质:原函数与不定积分的概念、基本积分表、不定积分的性质。

（2）换元积分法:第一类换元法、第二类换元法。

（3）分部积分法。

（4）有理函数的积分：有理函数的积分、可化为有理函数的积分。

（5）积分表的使用。

2.重点难点

重点: 原函数与不定积分的概念及其关系,不定积分的性质, 第一类换元法，第二类换元法，分部积分法。

难点： 原函数与不定积分的概念及其关系, 第一类换元法，第二类换元法，分部积分，有理函数的不定积分。

3. 教学方法

本章的教学以讲授为主，辅以习题练习、讨论与自学。基本内容由老师讲授，通过习题课巩固。注意加强学习方法的引导及课外辅导，同时在教学中注意与几何直观相结合，逐步推广使用多媒体教学手段。

4. 教学要求

（1）理解原函数与不定积分的概念及其关系,掌握不定积分的性质,了解原函数存在定理。

（2）熟练掌握不定积分的基本公式。

（3）熟练掌握不定积分第一类换元法，掌握第二类换元法（限于三角代换与简单的根式代换）。

（4）熟练掌握不定积分的分部积分法。

（5）会求简单有理函数的不定积分。

第五章  定积分

1. 主要内容：

（1）定积分的概念与性质:定积分问题举例、定积分定义、定积分的性质。

（2）微积分基本公式:变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系、积分上限的函数及其导数、牛顿—莱布尼茨公式。

（3）定积分的换元法和分部积分法:定积分的换元法、定积分的分部积分法。

（4）反常积分:无穷限的反常积分、无界函数的反常积分。

2.重点难点

重点:定积分的概念及其几何意义，定积分的基本性质，变上限定积分，牛顿—莱布尼茨公式，定积分的换元积分法和分部积分法，反常积分。

难点:定积分的概念及其几何意义，变上限定积分，牛顿—莱布尼茨公式，定积分的换元积分法和分部积分法，反常积分的计算方法。

3. 教学方法

本章的教学以讲授为主，辅以习题练习、讨论与自学。基本内容由老师讲授，通过习题课巩固。注意加强学习方法的引导及课外辅导，同时在教学中注意与几何直观相结合，逐步推广使用多媒体教学手段。

4. 教学要求

（1）理解定积分的概念及其几何意义,了解函数可积的条件。

（2）掌握定积分的基本性质。

（3）理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法。

（4）掌握牛顿—莱布尼茨公式。

（5）掌握定积分的换元积分法和分部积分法。

（6）理解反常积分的概念，掌握其计算方法。

第六章  定积分的应用

1. 主要内容：

（1）定积分的元素法。

（2）定积分在几何上的应用:平面图形的面积、体积、平面曲线的弧长。

（3）定积分在物理学上的应用:变力沿直线所做的功、水压力、引力。

2.重点难点

重点：平面图形的面积，旋转体体积，物体沿直线运动时变力所做的功。

难点：定积分的元素法。

3. 教学方法

本章的教学以讲授为主，辅以习题练习、讨论与自学。基本内容由老师讲授，通过习题课巩固。注意加强学习方法的引导及课外辅导，同时在教学中注意与几何直观相结合，逐步推广使用多媒体教学手段。

4. 教学要求

（1）理解定积分的元素法。

（2）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积，掌握用定积分计算立体的体积、平面曲线的弧长。

（3）了解用定积分计算变力沿直线所做的功、水压力、引力的元素法。

第七章  微分方程

1. 主要内容

（1）微分方程的基本概念

（2）可分离变量的微分方程

（3）齐次方程：一、齐次方程、*二、可化为齐次的方程。

（4）一阶线性微分方程：一、线性方程、*二、伯努利方程。

（5）全微分方程

（6）可降阶的高阶微分方程：一、型的微分方程、二、型的微分方程、三、型的微分方程。

（7）高阶线性微分方程：一、二阶线性微分方程举例、二、线性微分方程的解的结构。

（8）常系数齐次线性微分方程

（9）常系数非齐次线性微分方程：

一、型、二、型。

2.重点难点

重点：微分方程的基本概念，可分离变量的微分方程的解法，齐次方程的解法，一阶线性微分方程的解法，高阶线性微分方程解的结构，二阶常系数齐次、非齐次线性微分方程的解法。

难点：、型的解法，全微分方程的解法，二阶常系数齐次非齐次线性微分方程的解法。

3. 教学方法

本章的教学以讲授为主，辅以习题练习、讨论与自学。基本内容由老师讲授，通过习题课巩固，其余部分〔主要是*号部分〕由学生自学提高。注意加强学习方法的引导及课外辅导，同时在教学中注意与几何直观相结合，逐步推广使用多媒体教学手段。

4. 教学要求

（1）掌握微分方程基本概念，熟练掌握变量分离方程的解法，掌握齐次方程的解法。

（2）掌握一阶线性微分方程的解法，掌握全微分方程的解法，掌握可降阶的高阶微分方程的解法。

（3）熟知高阶线性微分方程解的结构，掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解常系数非齐次线性微分方程：

一、型、二、型的解法。

第八章  向量代数与空间解析几何

1. 主要内容：

（1）向量及其线性运算：向量概念、向量的线性运算、空间直角坐标系、利用坐标作向量的线性运算、向量的模、方向角、投影。

（2）数量积向量积：两向量的数量积、两向量的向量积。

（3）曲面及其方程：曲面方程的概念、旋转曲面、柱面、二次曲面。

（4）空间曲线及其方程：空间曲线的一般方程、空间曲线的参数方程、空间曲线在坐标面上的投影。

（5）平面及其方程：平面的点法式方程、平面的一般方程、两平面的夹角。

（6）空间直线及其方程：空间直线的一般方程、空间直线的对称式方程与参数方程、两直线的夹角、直线与平面的夹角、杂例。

2.重点难点

重点：向量的运算、曲面的方程、空间曲线的方程、平面的方程、直线的方程。

难点：曲面的方程、空间曲线的方程。

3. 教学方法

本章的教学以讲授为主，辅以习题练习、讨论与自学。基本内容由老师讲授，通过习题课巩固，其余部分〔主要是*号部分〕由学生自学提高。注意加强学习方法的引导及课外辅导，同时在教学中注意与几何直观相结合，逐步推广使用多媒体教学手段。

4. 教学要求

（1）使学生理解向量的基本概念、向量的运算。

（2）使学生掌握空间曲线、空间曲面的方程。

（3）使学生掌握平面的方程、空间直线的方程。

（4）使学生掌握两平面的夹角、两直线的夹角、直线与平面的夹角。

第九章  多元函数微分法及其应用

1. 主要内容：

（1）多元函数的基本概念：平面点集、*n维空间、多元函数概念、多元函数的极限、多元函数的连续性。

（2）偏导数：偏导数的定义及其计算法、高阶偏导数。

（3）全微分：全微分的定义。

（4）多元复合函数的求导法则。

（5）隐函数的求导公式：一个方程的情形、方程组的情形。

（6）多元函数微分学的几何应用：空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

（7）方向导数与梯度：方向导数、梯度。

（8）多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及最大值.最小值、条件极值.拉格郎日乘数法。

2.重点难点

重点：偏导数、多元复合函数的求导法则、隐函数的求导公式、多元函数的极值及求法。

难点：多元复合函数的求导法则、多元函数的极值及求法。

3. 教学方法

本章的教学以讲授为主，辅以习题练习、讨论与自学。基本内容由老师讲授，通过习题课巩固。注意加强学习方法的引导及课外辅导，同时在教学中注意与几何直观相结合，逐步推广使用多媒体教学手段。

4. 教学要求

（1）使学生理解多元函数的概念及简单的性质。

（2）使学生理解全微分、方向导数与梯度。

（3）使学生掌握偏导数、多元复合函数的求导法则。

（4）使学生掌握隐函数的求导公式、多元函数微分学的几何应用、多元函数的极值及求法。

第十章  重积分

1. 主要内容：

（1）二重积分的概念与性质：二重积分的概念、二重积分的性质。

（2）二重积分的计算法：利用直角坐标计算二重积分、利用极坐标计算二重积分。

（3）*三重积分：三重积分的概念、三重积分的计算。

（4）重积分的应用：曲面的面积、平面薄片的质心、平面薄片的转动惯量、引力。

2.重点难点

重点：二重积分的计算、重积分的应用。

难点：二重积分的计算、重积分的应用。

3. 教学方法

本章的教学以讲授为主，辅以习题练习、讨论与自学。基本内容由老师讲授，通过习题课巩固，其余部分〔主要是*号部分〕由学生自学提高。注意加强学习方法的引导及课外辅导，同时在教学中注意与几何直观相结合，逐步推广使用多媒体教学手段。

4. 教学要求

（1）使学生理解二重积分的概念与性质。

（2）使学生掌握二重积分的计算、二重积分的应用。

（3）使学生了解三重积分的概念、计算、三重积分的应用。

第十一章  曲线积分与曲面积分

1. 主要内容：

（1）对弧长的曲线积分：一、对弧长的曲线积分的概念与性质、二、对弧长的曲线积分的计算法。

（2）对坐标的曲线积分：一、对坐标的曲线积分的概念与性质、二、对坐标的曲线积分的计算法、三、两类曲线积分之间的联系。

（3）格林公式及其应用：一、格林公式、二、平面上曲线积分与路径无关的条件、三、二元函数的全微分求积。

（4）*对面积的曲面积分：一、对面积的曲面积分的概念与性质、二、对面积的曲面积分的计算法。

（5）*对坐标的曲面积分：一、对坐标的曲面积分的概念与性质、二、对坐标的曲面积分的计算法。

（6）*高斯公式通量与散度：一、高斯公式、二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件、*三、通量与散度。

（7）*斯托克斯公式环流量与旋度：一、斯托克斯公式、二、空间曲线积分与路径无关的条件、三、环流量与旋度。

2.重点难点

重点：两类曲线积分的概念和计算法，格林公式及其应用。

难点：两类曲线积分关系的讨论，格林公式的证明和应用。

3. 教学方法

本章的教学以讲授为主，辅以习题练习、讨论与自学。基本内容由老师讲授，通过习题课巩固，其余部分〔主要是*号部分〕由学生自学提高。注意加强学习方法的引导及课外辅导，同时在教学中注意与几何直观相结合，逐步推广使用多媒体教学手段。

4. 教学要求

（1）掌握两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的基本性质，掌握两类曲线积分的计算法，了解两类曲线积分之间的联系。

（2）熟知格林公式的条件和结论，了解格林公式的证明方法；能利用格林公式计算平面闭区域上的二重积分，计算平面曲线上的曲线积分；能利用格林公式对平面上曲线积分与路径无关等问题予以讨论。

（3）了解并掌握两类曲面积分的概念、性质，掌握两类曲面积分的计算法，了解两类曲面积分之间的联系。

（4）了解并掌握高斯公式、斯托克斯公式。

第十二章无穷级数

1. 主要内容：

（1）常数项级数的概念和性质：一、常数项级数的概念、二、收敛级数的基本性质。

（2）常数项级数的审敛法：一、正项级数及其审敛法、二、交错级数及其审敛法、三、绝对收敛与条件收敛。

（3）幂级数：一、函数项级数的概念、二、幂级数及其收敛性、三、幂级数的运算。

（4）函数展开成函数：一、泰勒级数、二、函数幂级数成幂级数。

（5）函数的幂级数展开式的应用：一、近似计算、二、欧拉公式。

（7）*傅里叶级数：一、三角级数三角函数系的正交性、二、函数展开成傅里叶级数、三、正弦级数和余弦级数。

（8）*一般周期函数的傅里叶级数：一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数、*二、傅里叶级数的复数形式。

2.重点难点

重点：常数项级数收敛的相关概念和性质，正项级数、交错级数审敛法，绝对收敛、条件收敛的概念和性质；函数项级数的相关概念，幂级数收敛域特点的讨论，幂级数收敛区间的求法，幂级数在收敛区间上的性质和应用；函数展成幂级数的条件和方法，幂级数展开式的应用。

难点：利用正项级数的审敛法讨论正项级数的敛散性，幂级数收敛域特点的讨论，函数展成幂级数的条件和方法。

3. 教学方法

本章的教学以讲授为主，辅以习题练习、讨论与自学。基本内容由老师讲授，通过习题课巩固，其余部分〔主要是*号部分〕由学生自学提高。注意加强学习方法的引导及课外辅导，同时在教学中注意与几何直观相结合，逐步推广使用多媒体教学手段。

4. 教学要求

（1）掌握常数项级数收敛发散的概念，了解常数项级数的性质、熟练掌握正项级数、交错级数审敛法，掌握、条件收敛概念，了解绝对收敛级数的特性。

（2）掌握函数项级数的有关概念，能对幂级数的收敛域特征进行讨论，会求幂级数的收敛区间，了解幂级数的运算性质，了解幂级数在收敛区间上的特性，能利用幂级数逐项求导、逐项求极的特性求幂级数的和函数。

（3）掌握函数展成幂级数的条件和方法，熟知一些常用函数的幂级数展开式，能用函数的幂级数展开式解决相关的理论和应用问题。

（4）了解三角级数及函数展开成傅里叶级数、正弦级数和余弦级数的条件和方法，了解一般周期函数的傅里叶级数。

五、课程资源：

1.推荐教材及参考文献：

（1）教材：

同济大学应用数学系编．高等数学，第六版．北京：高等教育出版社，2007年4月．

（2）教学参考书：

[1] 同济大学应用数学系编．高等数学，第五版．北京：高等教育出版社，2002年7月．

[2] 复旦大学数学系陈传璋等编．数学分析，第二版．北京：高等教育出版社，1983年7月．

[3] 华东师范大学数学系编．数学分析，第三版．北京：高等教育出版社，2001年6月.

2.课程网站：

[1]武汉大学：高等数学

http://jpkc.whu.edu.cn/jpkc/gdsx/course/shenbao_jsdw2.asp

[2]南华大学：高等数学：

http://61.187.179.69/ec2006/C79/Course/Index.htm

[3]中国传媒大学：高等数学

http://course.cuc.edu.cn/course/web060/lianxitisikaoti.html

[4]中国高校数学课程网：http://math.cncourse.com

[5]数学教研网：http://www.math123.cn

六、课程成绩评定：

1.考核方式：

闭卷考试,综合考虑平时成绩。

2.评价标准：

通过本课程的学习,学生能够系统地掌握高等数学的基本概念、基本理论、基本方法。具有比较熟练的运算能力﹑抽象思维能力﹑逻辑推理能力﹑几何直观和空间想象能力；具有一定的自学能力和较强的独立分析、解决问题的能力，具有较好的数学素养，具备扎实的理论功底。

3.成绩构成（含过程考核）：

总评成绩由平时成绩与期末成绩综合评定，其中平时成绩不超过40%，期末成绩不少于60%。