09-08 15:53 赵磊娜 重庆交通大学 在线性代数(第15期）课程中提问：

含参数线性方程组求解注意的问题和技巧是什么？

• 12-20 19:26 杨俨琳

  含参数线性方程组的求解是线性代数中的重点和难点，主要涉及对参数取值的讨论，以确定解的存在性、唯一性与结构

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09-09 17:28 赵磊娜 重庆交通大学 在线性代数(第15期）课程中提问：

高斯消元法求解线性方程组的基本思想是什么？

• 12-20 19:24 张杰

  高斯消元法的目标是通过一系列初等行变换，将线性方程组的增广矩阵逐步简化为一种便于求解的形式（通常是行阶梯形或行最简形），从而找到方程组的解 。主要步骤（1）消元阶段：通过对增广矩阵实施初等行变换（包括交换两行、某一行乘以一个非零常数、某一行加上另一行的若干倍），将矩阵化为行阶梯形。行阶梯形的特点是每一行的第一个非零元素（称为主元）所在的列，比上一行的主元所在列靠右。（2）回代阶段：当矩阵化为行阶梯形后，可以通过回代的方法依次求解每个未知数。通常进一步将其化为行最简形，使得每个主元均为1，且主元所在列的其他元素均为0，以便更直观地得到解

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09-08 10:08 赵磊娜 重庆交通大学 在线性代数(第15期）课程中提问：

利用高斯消元法求解方程组得到的通解与利用解的结构求出的通解有何联系？

• 12-20 19:22 杨俨琳

  高斯消元法求解的通解与解的结构理论是等价且统一的，前者是后者的具体实现工具，后者是前者的理论依据，核心联系如下：一、本质一致：均基于“解空间的线性结构”线性方程组的解空间具有严格的线性结构（齐次方程组解空间是向量空间，非齐次方程组解空间是其平移），两种方法均围绕这一结构展开：- 解的结构理论：从代数层面定义了通解的形式（齐次通解为基础解系的线性组合，非齐次通解为“特解 齐次通解”）。- 高斯消元法：通过行初等变换将方程组转化为同解的阶梯形/行最简形，直接计算出符合该结构的具体解。二、高斯消元法是解的结构的“计算落地”高斯消元法的每一步操作，都对应解的结构理论的要求：1. 齐次方程组（$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$） - 消元后得到行最简形，通过自由变量赋值（如令自由变量为1、其余为0），直接生成线性无关的解向量，这些向量就是基础解系。 - 通解为基础解系的线性组合（与解的结构理论完全一致）。2. 非齐次方程组（$A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$） - 消元后先令所有自由变量为0，解出特解（对应解的结构中的“特解”）。 - 再令常数项为0，对导出的齐次方程组重复上述步骤，得到齐次通解。 - 最终通解为“特解 齐次通解的线性组合”（严格遵循解的结构理论）。三、核心联系：自由变量与基础解系的对应高斯消元法中自由变量的个数，等于解的结构理论中基础解系的向量个数（即 $n-R（A）$，$n$ 为未知数个数，$R（A）$ 为系数矩阵秩）。- 自由变量是解空间的“参数”，基础解系是解空间的“基向量”，高斯消元法通过自由变量的赋值，直接构造出基向量。四、结果等价：两种方法得到的通解形式可互推无论用哪种方法，最终通解的解集完全相同，仅参数表示形式可能因自由变量的选择不同而略有差异（如不同的基础解系），但本质是等价的线性组合。总结高斯消元法是**“用算法实现解的结构理论”**的过程：解的结构理论给出了通解的“框架”，高斯消元法则提供了“填充框架”的具体步骤，二者共同构成了线性方程组求解的完整逻辑。

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09-08 10:07 赵磊娜 重庆交通大学 在线性代数(第15期）课程中提问：

矩阵的初等变换与矩阵乘法之间的联系是什么？

• 12-20 19:19 廖俊杰

  矩阵的初等变换与矩阵乘法的核心联系是：对矩阵A施行一次初等行（列）变换，等价于用对应的初等矩阵左（右）乘A，初等矩阵是单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵，具体对应关系分三类： 1. 交换变换交换单位矩阵E的第i、j行（列）得到初等矩阵P（i,j），对A交换第i、j行（列），等价于P（i,j）A（AP（i,j））。2. 数乘变换用非零常数k乘单位矩阵E的第i行（列）得到初等矩阵P（i（k）），对A的第i行（列）乘k，等价于P（i（k））A（AP（i（k）））。3. 倍加变换将单位矩阵E的第j行（列）的k倍加到第i行（列）得到初等矩阵P（i,j（k）），对A做该倍加行（列）变换，等价于P（i,j（k））A（AP（i,j（k）））。 此外，初等矩阵都是可逆的，其逆矩阵仍是同类型的初等矩阵，这也对应了初等变换的可逆性：行（列）变换的逆变换，可通过左（右）乘对应初等矩阵的逆矩阵实现

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09-08 10:12 赵磊娜 重庆交通大学 在线性代数(第15期）课程中提问：

谈一下你对范德蒙德行列式的认识。

• 12-20 19:19 李霖

  范德蒙德行列式是一个 n×n阶的行列式。每一行都是前一行的变量的幂次递增，第一行为全1。计算：范德蒙德行列式的值可以用所有变量两两之差的乘积来表示；这意味着，只要所有的元素互异，行列式的值就不会为零 。范德蒙德行列式的证明通常采用数学归纳法。

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09-08 06:54 赵磊娜 重庆交通大学 在线性代数(第15期）课程中提问：

说一下，你了解的关于行列式的那些事？

• 12-20 19:18 廖俊杰

  行列式是线性代数中的核心概念，它是针对方阵定义的一个标量值，表示为det（A）或|A|，其本质是将方阵的元素通过特定规则组合成一个常数，用于描述线性变换对空间体积的缩放比例及方向变化

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09-08 06:54 赵磊娜 重庆交通大学 在线性代数(第15期）课程中提问：

说一下排列和逆序数的关系是什么？

• 12-20 19:18 廖俊杰

  逆序数的奇偶性直接定义排列是偶排列还是奇排列；
  对换排列中两个元素，逆序数奇偶性会改变，排列的奇偶性也随之改变；
  行列式展开项的符号，由元素列标排列的逆序数决定。

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09-08 06:54 赵磊娜 重庆交通大学 在线性代数(第15期）课程中提问：

说一下行列式有哪些性质？

• 12-20 19:17 廖俊杰

  互换行列式的任意两行（或两列），行列式的值会改变符号。作为推论，如果行列式中有两行（或两列）的元素完全相同，则该行列式的值为零。

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09-08 09:59 赵磊娜 重庆交通大学 在线性代数(第15期）课程中提问：

总结行列式计算的常用方法。

• 12-20 19:17 廖俊杰

  1.化三角形法：利用行列式的性质将其化为上三角形或下三角形行列式。适用于大多数行列式，尤其是可以通过行变换或列变换化为三角形形式的情况 。2. 降阶法原理：利用行列式按行或列展开定理（拉普拉斯展开定理）逐步降低行列式的阶数。适用于高阶行列式，尤其是当某一行或某一列含较多零元素时更为有效 。3. 加边法原理：在原有行列式的基础上增加一行一列，使其更容易应用化三角形法或降阶法。适用于特定结构的行列式，例如某些特殊形式的循环行列式 。4. 递推公式法原理：通过观察低阶行列式的模式，建立递推关系式，进而推导出高阶行列式的计算公式。适用于具有明显递推特征的行列式 。5. 数学归纳法原理：首先通过不完全归纳法猜测行列式的通项公式，然后利用数学归纳法加以证明。适用于具有周期性或对称性的行列式 。6. 拆行（列）法原理：将行列式拆分为若干个更简单的行列式之和，分别计算后再合并。适用于某一行或某一列可以分解为两组数之和的情况 。7. 化为范德蒙行列式原理：通过适当的变换将行列式化为范德蒙行列式的形式，然后利用范德蒙行列式的已知公式直接计算。适用于具有类似范德蒙行列式结构的行列式 。8. 因式分解法原理：将行列式视为多项式，通过因式分解找到其根，从而简化计算。适用于行列式中含有参数或变量的情况 。9. 行列式性质的应用常用性质：行列互换：行列式不变。行（列）互换：行列式变号。行（列）倍乘：行列式乘以相应的倍数。行（列）倍加：行列式不变。行列式等于零：当两行（列）成比例时，行列式为零。适用场景：适用于各种行列式计算，尤其是在化简行列式时非常有用

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09-08 10:02 赵磊娜 重庆交通大学 在线性代数(第15期）课程中提问：

行列式的几何意义是什么？

• 12-20 19:17 廖俊杰

  n阶行列式对应n维欧氏空间中，由n个n维向量张成的n维平行多面体的有向体积，行列式的绝对值是该几何体的n维体积，符号反映向量组的定向。同时，行列式的值也表示线性变换对n维体积的缩放因子。

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